Lineare Funktionen

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Einstieg: Was ist eine lineare Funktion?

❓ Wie beschreibt man eine gleichmäßige Veränderung mathematisch – und was verrät uns die Form f(x) = m…

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# Stundenverlauf — Lineare Funktionen, Stunde 1/14 **Klasse 11 | Mathe | ca. 45 Min** **Problemfrage:** Wie beschreibt man eine gleichmäßige Veränderung mathematisch – und was verrät uns die Form f(x) = mx + b? --- ## 1. Einstieg (ca. 8 Min) **Methode:** Impuls → Unterrichtsgespräch Der Lehrer schreibt zwei Zahlenreihen an die Tafel (kein Kommentar, nur die Reihen): ``` A: 2 | 5 | 8 | 11 | 14 | … B: 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | … ``` **Impuls:** *„Was fällt euch auf? Was ist der Unterschied zwischen A und B?"* Erwartete Schülerantworten: - A wächst gleichmäßig (+3 jedes Mal), B nicht - A ist „einfacher" / „vorhersehbar" Lehrer greift auf: *„Reihe A beschreibt eine gleichmäßige Veränderung. Genau das ist der Kern linearer Funktionen. Heute klären wir, wie man so etwas mathematisch fassen kann."* → Problemfrage an die Tafel / Folie schreiben. --- ## 2. Erarbeitung (ca. 25 Min) ### Phase 2a — Entdecken am Kontext (10 Min) **Sozialform:** Partnerarbeit | **Material:** Arbeitsblatt (s. u.) Kontext mit Musikbezug — passt zum Fachprofil der Lehrkraft: > Ein Streaming-Dienst zahlt einem Musiker **0,40 € pro Stream**. Dazu erhält er eine monatliche Pauschale von **12 €**. Aufgaben auf dem AB: 1. Fülle die Wertetabelle aus (0, 5, 10, 20, 50 Streams). 2. Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem. 3. Was fällt dir an der Form des Graphen auf? 4. Kannst du eine Formel aufschreiben, die die Einnahmen berechnet? **Lehreraktivität:** Gezielte Impulse bei Bedarf (*„Wie verändert sich y, wenn x um 1 steigt?"*), keine Lösung vorwegnehmen. --- ### Phase 2b — Einführung der allgemeinen Form (8 Min) **Sozialform:** Lehrervortrag mit Schülerbeteiligung (fragend-entwickelnd) Lehrer hält inne und strukturiert die Schülerergebnisse: 1. Ergebnis aus dem Kontext: **E(x) = 0,40x + 12** 2. Lehrer verallgemeinert: **f(x) = mx + b** | Symbol | Bedeutung | Im Beispiel | |--------|-----------|-------------| | **m** | Steigung — wie stark wächst f pro Schritt? | 0,40 | | **b** | y-Achsenabschnitt — wo startet der Graph? | 12 | | **x** | unabhängige Variable (Eingabe) | Anzahl Streams | | **f(x)** | Funktionswert (Ausgabe) | Einnahmen in € | **Leitfragen ans Plenum:** - *„Wo sehen wir das m in eurem Graphen?"* - *„Was passiert bei x = 0 — was bedeutet das inhaltlich?"* --- ### Phase 2c — Übertragung (7 Min) **Sozialform:** Einzelarbeit (stille Phase) Drei weitere Funktionsterme an der Tafel: ``` f(x) = 3x + 1 g(x) = −2x + 5 h(x) = x ``` Aufgabe: Für jeden Term — m und b benennen, Wertetabelle (3 Werte), Skizze des Graphen. --- ## 3. Ergebnissicherung (ca. 10 Min) **Methode:** Plenumsgespräch + gemeinsamer Merksatz Schüler stellen ihre Skizzen vor (Aufzeigen, Lehrer zeichnet eine Version an die Tafel). Besonderes Augenmerk: - g(x) hat **negative Steigung** → Graph fällt → kurze Diskussion: *„Gibt es das im echten Leben?"* (z. B. Restwert eines Instruments über Zeit) - h(x) = x hat b = 0 → Gerade durch den Ursprung → Vorschau auf Stunde 7 **Merksatz** (gemeinsam formulieren, dann an Tafel / ins Heft): > Eine lineare Funktion hat die Form **f(x) = mx + b**. > **m** gibt die Steigung an (gleichmäßige Änderungsrate), > **b** gibt den Startwert an (y-Achsenabschnitt). > Ihr Graph ist stets eine **Gerade**. --- ## 4. Ausblick (ca. 2 Min) **Hausaufgabe:** Wertetabelle und Skizze für zwei selbst gewählte lineare Funktionen — eine mit positiver, eine mit negativer Steigung. Terme selbst erfinden. **Brücke zur nächsten Stunde:** *„Nächste Stunde experimentieren wir gezielt mit m — was passiert mit der Geraden, wenn wir nur m verändern?"* --- ## Material-Checkliste - [ ] Arbeitsblatt Streaming-Kontext (Wertetabelle + Koordinatensystem vorgedruckt) - [ ] Tafelbild vorbereiten (Zahlenreihen A/B, später allg. Form) - [ ] ggf. GeoGebra an Beamer für Phase 2b (optional, nicht notwendig)

Titel

Datum

❓ Problemfrage Inhalt / Phasen

# Stundenverlauf — Lineare Funktionen, Stunde 1/14
**Klasse 11 | Mathe | ca. 45 Min**
**Problemfrage:** Wie beschreibt man eine gleichmäßige Veränderung mathematisch – und was verrät uns die Form f(x) = mx + b?

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## 1. Einstieg (ca. 8 Min)

**Methode:** Impuls → Unterrichtsgespräch

Der Lehrer schreibt zwei Zahlenreihen an die Tafel (kein Kommentar, nur die Reihen):

```
A:   2 | 5 | 8 | 11 | 14 | …
B:   1 | 4 | 9 | 16 | 25 | …
```

**Impuls:** *„Was fällt euch auf? Was ist der Unterschied zwischen A und B?"*

Erwartete Schülerantworten:
- A wächst gleichmäßig (+3 jedes Mal), B nicht
- A ist „einfacher" / „vorhersehbar"

Lehrer greift auf: *„Reihe A beschreibt eine gleichmäßige Veränderung. Genau das ist der Kern linearer Funktionen. Heute klären wir, wie man so etwas mathematisch fassen kann."*

→ Problemfrage an die Tafel / Folie schreiben.

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## 2. Erarbeitung (ca. 25 Min)

### Phase 2a — Entdecken am Kontext (10 Min)
**Sozialform:** Partnerarbeit | **Material:** Arbeitsblatt (s. u.)

Kontext mit Musikbezug — passt zum Fachprofil der Lehrkraft:

> Ein Streaming-Dienst zahlt einem Musiker **0,40 € pro Stream**. Dazu erhält er eine monatliche Pauschale von **12 €**.

Aufgaben auf dem AB:
1. Fülle die Wertetabelle aus (0, 5, 10, 20, 50 Streams).
2. Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem.
3. Was fällt dir an der Form des Graphen auf?
4. Kannst du eine Formel aufschreiben, die die Einnahmen berechnet?

**Lehreraktivität:** Gezielte Impulse bei Bedarf (*„Wie verändert sich y, wenn x um 1 steigt?"*), keine Lösung vorwegnehmen.

---

### Phase 2b — Einführung der allgemeinen Form (8 Min)
**Sozialform:** Lehrervortrag mit Schülerbeteiligung (fragend-entwickelnd)

Lehrer hält inne und strukturiert die Schülerergebnisse:

1. Ergebnis aus dem Kontext: **E(x) = 0,40x + 12**
2. Lehrer verallgemeinert: **f(x) = mx + b**

| Symbol | Bedeutung | Im Beispiel |
|--------|-----------|-------------|
| **m** | Steigung — wie stark wächst f pro Schritt? | 0,40 |
| **b** | y-Achsenabschnitt — wo startet der Graph? | 12 |
| **x** | unabhängige Variable (Eingabe) | Anzahl Streams |
| **f(x)** | Funktionswert (Ausgabe) | Einnahmen in € |

**Leitfragen ans Plenum:**
- *„Wo sehen wir das m in eurem Graphen?"*
- *„Was passiert bei x = 0 — was bedeutet das inhaltlich?"*

---

### Phase 2c — Übertragung (7 Min)
**Sozialform:** Einzelarbeit (stille Phase)

Drei weitere Funktionsterme an der Tafel:

```
f(x) = 3x + 1
g(x) = −2x + 5
h(x) = x
```

Aufgabe: Für jeden Term — m und b benennen, Wertetabelle (3 Werte), Skizze des Graphen.

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## 3. Ergebnissicherung (ca. 10 Min)

**Methode:** Plenumsgespräch + gemeinsamer Merksatz

Schüler stellen ihre Skizzen vor (Aufzeigen, Lehrer zeichnet eine Version an die Tafel). Besonderes Augenmerk:
- g(x) hat **negative Steigung** → Graph fällt → kurze Diskussion: *„Gibt es das im echten Leben?"* (z. B. Restwert eines Instruments über Zeit)
- h(x) = x hat b = 0 → Gerade durch den Ursprung → Vorschau auf Stunde 7

**Merksatz** (gemeinsam formulieren, dann an Tafel / ins Heft):

> Eine lineare Funktion hat die Form **f(x) = mx + b**.
> **m** gibt die Steigung an (gleichmäßige Änderungsrate),
> **b** gibt den Startwert an (y-Achsenabschnitt).
> Ihr Graph ist stets eine **Gerade**.

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## 4. Ausblick (ca. 2 Min)

**Hausaufgabe:**
Wertetabelle und Skizze für zwei selbst gewählte lineare Funktionen — eine mit positiver, eine mit negativer Steigung. Terme selbst erfinden.

**Brücke zur nächsten Stunde:**
*„Nächste Stunde experimentieren wir gezielt mit m — was passiert mit der Geraden, wenn wir nur m verändern?"*

---

## Material-Checkliste

- [ ] Arbeitsblatt Streaming-Kontext (Wertetabelle + Koordinatensystem vorgedruckt)
- [ ] Tafelbild vorbereiten (Zahlenreihen A/B, später allg. Form)
- [ ] ggf. GeoGebra an Beamer für Phase 2b (optional, nicht notwendig)

🖼 Tafelbild

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  LINEARE FUNKTIONEN — Stunde 1                        Klasse 11 | Mathe
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  PROBLEMFRAGE                     |   EINSTIEG: ZWEI FOLGEN
  ┌───────────────────────────┐    |
  │ Wie beschreibt man eine   │    |   A:  2 | 5 | 8 | 11 | 14 | …
  │ gleichmäßige Veränderung  │    |      +3   +3   +3    +3
  │ mathematisch –            │    |   → konstante Differenz
  │ und was verrät uns        │    |
  │                           │    |   B:  1 | 4 | 9 | 16 | 25 | …
  │      f(x) = mx + b ?      │    |      +3   +5   +7    +9
  └───────────────────────────┘    |   → wachsende Differenz

  ---------------------------------+----------------------------------
  LINEARE FUNKTION                     f(x) = mx + b
  ─────────────────                    ────────────────────────────
  • Graph:  Gerade                      m  =  Steigung
  • gleichmäßige Veränderung               m > 0  →  steigt
  • konstante Differenzfolge               m < 0  →  fällt
                                           m = 0  →  waagrecht
  ≠  NICHT linear:
     Parabel / Kurve                    b  =  y-Achsenabschnitt
     wachsende Differenz                     wo schneidet die Gerade
                                             die y-Achse?

========================================================================
  MERKSATZ:  f(x) = mx + b beschreibt jede lineare Funktion.
             m = Steigung (gleichmäßige Veränderung pro Schritt),
             b = y-Achsenabschnitt (Startpunkt der Geraden).
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  LINEARE FUNKTIONEN — Stunde 1                        Klasse 11 | Mathe
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PROBLEMFRAGE                     |   EINSTIEG: ZWEI FOLGEN
  ┌───────────────────────────┐    |
  │ Wie beschreibt man eine   │    |   A:  2 | 5 | 8 | 11 | 14 | …
  │ gleichmäßige Veränderung  │    |      +3   +3   +3    +3
  │ mathematisch –            │    |   → konstante Differenz
  │ und was verrät uns        │    |
  │                           │    |   B:  1 | 4 | 9 | 16 | 25 | …
  │      f(x) = mx + b ?      │    |      +3   +5   +7    +9
  └───────────────────────────┘    |   → wachsende Differenz

---------------------------------+----------------------------------
  LINEARE FUNKTION                     f(x) = mx + b
  ─────────────────                    ────────────────────────────
  • Graph:  Gerade                      m  =  Steigung
  • gleichmäßige Veränderung               m > 0  →  steigt
  • konstante Differenzfolge               m < 0  →  fällt
                                           m = 0  →  waagrecht
  ≠  NICHT linear:
     Parabel / Kurve                    b  =  y-Achsenabschnitt
     wachsende Differenz                     wo schneidet die Gerade
                                             die y-Achse?

========================================================================
  MERKSATZ:  f(x) = mx + b beschreibt jede lineare Funktion.
             m = Steigung (gleichmäßige Veränderung pro Schritt),
             b = y-Achsenabschnitt (Startpunkt der Geraden).
========================================================================
```

🖊 Tafel

2

Der Parameter m – die Steigung

❓ Was passiert mit dem Graphen, wenn ich m verändere – und was bedeutet das inhaltlich?

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Entdeckendes Lernen (GeoGebra), Partnerarbeit | GeoGebra (Schieberegler), Arbeitsblatt

🖊 Tafel

3

Der Parameter b – der y-Achsenabschnitt

❓ Wo beginnt die Gerade – und welche Rolle spielt b beim Verschieben des Graphen?

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Erkundungsauftrag, Ergebnissicherung im Plenum | GeoGebra, Heft

🖊 Tafel

4

Graphen konstruieren

❓ Wie zeichne ich den Graphen einer linearen Funktion präzise und effizient?

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Direkte Instruktion, Übungsphase in Einzel-/Partnerarbeit | Karopapier-Arbeitsblatt, Lineal

🖊 Tafel

5

Funktionsterm aus Graph und Tabelle ablesen

❓ Kann ich aus einem Graphen oder einer Wertetabelle den zugehörigen Funktionsterm rekonstruieren?

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Stationenarbeit (3 Stationen: Graph → Term, Tabelle → Term, Term → beides) | Stationenkarten, Lösungsblatt

🖊 Tafel

6

Funktionsterm aus zwei Punkten bestimmen

❓ Genügen zwei Punkte, um eine Gerade eindeutig zu beschreiben – und wie berechne ich den Term?

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Erarbeitungsphase mit Leitfragen, Übung, Ergebnisdiskussion | Arbeitsblatt, Musterlösung

🖊 Tafel

7

Besondere Fälle I: Ursprungsgeraden & konstante Funktionen

❓ Was hat eine Gerade durch den Ursprung mit direkter Proportionalität zu tun – und wann „bewegt" sich…

▶

Vergleich an Graphen, fragend-entwickelndes Gespräch | Graphen-Kartei, Heft

🖊 Tafel

8

Besondere Fälle II: Parallele und senkrechte Geraden

❓ Wann sind zwei Geraden parallel – und welche geheimnisvolle Bedingung muss für Senkrechtheid gelten?

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Entdeckungsauftrag, kooperatives Lernen (Think-Pair-Share) | GeoGebra, Arbeitsblatt

🖊 Tafel

9

Schnittpunkte berechnen

❓ Wie finde ich den genauen Punkt, an dem sich zwei Geraden schneiden – und warum reicht Ablesen nicht…

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Direkte Instruktion (Gleichsetzen), Übungsaufgaben gestaffelt | Aufgabenblatt mit Selbstkontrolle

🖊 Tafel

10

Schnittpunkte – geometrische Deutung & Vertiefung

❓ Was bedeutet der Schnittpunkt zweier Funktionen inhaltlich – und wann gibt es keinen?

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Problemaufgaben, Partnerarbeit, Vergleich im Plenum | anspruchsvolles Aufgabenset

🖊 Tafel

11

Modellieren I: Lineare Funktionen in Sachsituationen

❓ Wie übersetze ich einen Realtext in einen Funktionsterm – und was verrät mir das Ergebnis über die W…

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Modellierungskreislauf, Kleingruppenarbeit | Sachaufgaben mit Alltagsbezug (Tarife, Wege, Kosten)

🖊 Tafel

12

Modellieren II: Vergleich von Angeboten / Entscheidungsprobleme

❓ Ab wann lohnt sich Angebot A mehr als Angebot B – und wie entscheide ich das mathematisch?

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Problemlösen in Gruppen, Präsentation der Lösungswege | Aufgabenkarten (z. B. Handytarife, Stromverträge)

🖊 Tafel

13

Sicherung & Vernetzung

❓ Was hängt alles zusammen – und wo liegen meine persönlichen Lücken?

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Lerntempoduett, Mind-Map, Selbstdiagnose-Bogen | Zusammenfassungsbogen, Diagnosekarte

🖊 Tafel

14

Wiederholung & Vorbereitung auf den Test

❓ Welche Aufgabentypen erwarten mich – und bin ich sicher genug, sie zu lösen?

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Übungsklausur in Einzelarbeit, individuelle Nachbesprechung | Übungstest mit Lösungen

🖊 Tafel

Fach	Mathe
Klassenstufe	11
Schuljahr	2025/26
Geplante Std.	—
Minimum	—

Lineare Funktionen

Stunde zuweisen